Dr. Jesús Rogelio Pérez Buendía, (CONACYT-CIMAT Mérida)

Resumen: En este minicurso presentaremos las analogías principales entre la teoría de Galois y la teoría de Grupos fundamentales, con miras a su desarrollo y aplicaciones a la geometría algebraica y a la aritmética.

La teoría de Galois es, en esencia, la teoría que estudia la correspondencia entre los grupos de simetrías de extensiones de campos y las extensiones de campos mismas, dotándonos de una conexión ente la teoría de grupos y la teoría de campos. Por otro lado, los cubrientes de un espacio topológico, X, se pueden entender con una interpretación del mismo tipo. Un cubriente es, básicamente, un espacio topológico junto con una aplicación Y --> X de tal manera que localmente Y se ve como X. La teoría de Galois de cubrientes nos brinda una correspondencia entre simetrías de dichos cubrientes y el grupo fundamental de X, quien juega el papel del grupo de Galois en esta analogía.

De hecho, esto es mucho más que una simple analogía; se puede extrapolar al caso de curvas y establecer una conexión directa entre cubrientes topológicos y extensiones de C(z), que nos remonta a la teoría de superficies de Riemann. Si por ejemplo consideramos los cubrientes de la esfera con tres puntos críticos, se establece una correspondencia entre curvas algebraicas definidas sobre campos numéricos y cubrientes topológicos, y estos cubrientes pueden representarse de una manera muy particular, como lo que Grothendieck llamó "dessin d'enfents" (dibujos de niños).

Más aún, Grothendieck establece un formalismo general en el que estas correspondencias tienen vida, dando así una herramienta muy poderosa para el estudio de variedades algebraicas, esquemas y análogos a grupos fundamentales y grupos de Galois en teorías mucho más avanzadas; también dejando mucho trabajo por hacer y por entender. Pero no hay que preocuparse. Este curso es tan solo una introducción a las ideas básicas que hay detrás de estas teorías.

Así, este curso está pensado para estudiantes de los últimos semestres de la carrera en matemáticas y el objetivo principal será presentar la analogía clásica entre la teoría de Galois y la teoría de cubrientes de espacios topológicos antes mencionada, pero como dice el título, siempre pensando en aplicaciones a la geometría algebraica y a la aritmética.

Volver